[Hor] Shader入门(2)--图形学用到数学部分简单介绍
本帖最后由 Hor 于 2019-11-5 15:44 编辑

数学部分(除开矩阵,这个应该是初中的数学没人反对吧?)坐标系:
  • 分左手坐标系,右手坐标系,区别主要在于 z 轴的指向
  • unity用的是左手坐标系
  • 本地坐标系
    • 物体本身坐标系
    • 在unity中假如reset的话,那本地坐标系和世界对应的坐标系一致

  • 世界坐标系
    • 例如本身坐标进行旋转,本地坐标变了,但世界坐标没变

  • 摄像机坐标系
    • 摄像机坐标系也属于一种本地坐标,对于摄像机坐标的操作会影响摄像机的视野范围

      • 而在视野范围的会被保留交给GPU去进行图形的渲染,视野范围外的会被剔除


  • 屏幕坐标系
    • 屏幕坐标是个二维坐标系,将游戏里面的三维坐标投影成屏幕坐标然后输出,这样我们才能看到。


    - 向量:
    • 向量的定义:一个有方向又具有大小的有像线段
    • 向量运算:
      • 加法
        • 假设有两个向量:v1(0,1)   ;      v2(1,1)
        • 那么相加可得:v3 = v1+v2 = (0+1,1+1) = (1,2)

      • 减法
        • 和向量加法类似
        • v1,v2相减可得:v3 = v1-v2 = (0-1,1-1) = (-1,0)
        • 得到得是由v2得终点指向v1的终点的有向线段

      • 点乘
        • 向量的点乘得到的是一个常数,不再是向量
        • v1 * v2  = (0,1) *(1,1) = 0 * 1+1*1 = 1
        • 点乘意义:

          • 由于向量v1 * v2 = |v1||v2|cosA
          • 所以当知道向量v1 ,v2就能求他们之间的夹角


      • 叉乘
        • 叉乘相乘得到的还是一个向量,且这个向量为垂直于v1,v2所组成平面的法向量。
        • 向量a X b 和向量 b X a 得到的法向量的方向相反。
        • 假如 向量a(1,1,1) ; 向量b(0,1,0)
        • a X b = (1 * 0 - 1 * 1,1 * 0 - 1 * 0,1 * 1-1*0) = (-1,0,1)
        • 因为我们所有看到的面对应的法向量是面向我们的,有些情况下看不到很可能就是法向量的方向反了。


      • 矩阵
        • 矩阵要说的比较多,也是学习shader的一大数学阻碍,这里不展开说,只说其中的 对于shader的意义,具体可以百度去了解矩阵所需要掌握的知识
        • 意义:用于变换,比如坐标的平移,旋转,缩放都可以用矩阵去表示,还有颜色等变换等
        • 以平移变换矩阵为例子,假设向量a(1,1,1)想要向Y轴上平移n个单(1,1+n,1)那么我们就想向量a乘什么的矩阵会等于(1,1+n,1),下面就是这个矩阵,具体怎么得到的,需要去了解矩阵的乘法;(7字形乘法,这样比较好记,哈哈)
        • [1,0,0]
        • [0,1,0]
        • [0,n,1]


        CG数学函数(shader用到的函数):
        • bs(x)  返回输入参数的绝对值;
        • acos(x) 反余弦函数,输入参数范围[-1,1],返回[0,π]区间的角度值;
        • all(x) 如果输入的参数均不为0,则返回true,否则返回false;
        • any(x) 输入的参数只要有一个不为0,则返回true;
        • asin(x) 反正弦函数,输入的参数取值区间[-1,1],返回角度值范围为[-π/2,π/2];
        • atan(x) 反正切函数,返回角度值范围[-π/2,π/2];
        • atan2(y,x) 计算y/x的反正切值;
        • ceil(x) 对输入的参数向上取整;
        • clamp(x,a,b) 如果x小于a,返回a;x大于b,则返回b;否则,返回x;
        • cos(x) 返回x的余弦值,返回值范围[-1,1];
        • cosh(x) 双曲余弦函数,计算x的双曲余弦值;
        • cross(A,B) 返回两个三元向量的叉积,注意参数必须是三元向量;
        • degrees(x) 输入参数为弧度值,函数将其转换为角度值;
        • determinant(m) 计算矩阵的行列式因子;
        • dot(A,B) 返回A和B的点积,参数可以是标量,也可以是向量;
        • exp(x) 计算e^x的值,e=2.71828;
        • exp2(x) 计算2^x的值;
        • floor(x) 对输入的参数向下取整;
        • fmod(x,y) 返回x/y的余数。如果y为0,结果不可预料;
        • frac(x)  返回标量或者是每个向量组件的分数部分;
        • frexp(x,out exp) 将浮点数x分解为尾数和指数,x=m*2^exp返回m,并将指数存入exp中,如果x为0,则尾数和指数都返回0;(不是很明白?)
        • isfinite(x) 判断标量或者向量中的每个数据是否是无限,如果是返回true,否则返回false;
        • isnan(x) 判断标量或者向量中的每个数据是否是非数据,如果是返回true,否则返回false;
        • ldexp(x,n) 计算x(2^n)的值;
        • lerp(a,b,f) 计算(1-f)a + bf 或者 a+f(b-a)的值,即在下限a和上限b之间进行插值,f表示权值。注意,如果a和b是向量,则权值f必须是标量或者等长的向量;
        • lit(NdotL,NdotH,m)  N表示法向量。L表示入射光向量。H表示半角向量。m表示高光向量。函数计算环境光,散射光,镜面光的贡献,返回四元向量: X表示环境光的贡献,总是1;Y表示散射光的贡献,如果N.L<0,则为0,否则为N.L; Z表示镜面光的贡献,如果N.L<0或者N.H<0,则为0;否则为(N.H)^m;W始终为1;
        • log(x)    计算ln(x)的值,x必须大于0;
        • log2(x) 计算log2^x的值,x必须大于0;
        • log10(x) 计算log10^x的值,x必须大于0;
        • max(a,b) 比较两个标量或者等长向量元素,返回最大值;
        • min(a,b) 比较两个标量或者等长向量元素,返回最小值;
        • mul(M,N) 计算两个矩阵相乘,如果M为AxB矩阵,N为BxC矩阵,则返回AxC矩阵;
        • mul(M,v)  计算矩阵和向量相乘;
        • mul(v,M) 计算向量与矩阵相乘;
        • noise(x)  噪声函数,返回值始终在0-1之间,对于同样的输入,返回相同的值(也就是说并不是真正意义上的随机噪声);
        • pow(x,y)  表示x^y;
        • radians(x) 函数将角度值转换成弧度值;
        • round(x)  四舍五入;
        • saturate(x) 如果x小于0,返回0;如果x大于1,返回1;否则返回x;
        • sign(x) 符号函数 ,如果x大于0,返回1;如果小于0,返回-1;否则返回0;
        • sin(x)  输入参数为弧度,计算正弦值,返回值范围[-1,1];
        • sincos(float x ,out s, out c)  该函数是同时计算x的sin值和cos值,其中s=sin(x),c=cos(x),这样比分开计算要快;
        • smoothstep(min,max,x)  x位于min和max之间,若x=min,返回0;若x=max,返回1;若x在两者之间,按下列公式返回数据:-2((x-min)/(max-min))^3+3((x-min)/(max-min))^2;
        • step(a,x)  若x< a,返回0,否则返回1;
        • sqrt(x)  求x的平方根,x必须大于0;
        • tan(x)  输入参数为弧度,计算正切值;
        • tanh(x) 计算双曲正切值;
        • transpose(M)   M为矩阵,计算其转置矩阵;  

        2,几何函数
        • 几何函数,用于执行和解析几何相关计算,如根据入射光向量和顶点法向量,求反射光和折射光的方向向量。
        • distance(pt1,pt2)  两点之间的欧几里得距离;
        • faceforword(N,I,Ng)   若Ng*I<0,返回N,否则返回-N;=
        • length(v)  返回一个向量的模;
        • normalize(v) 归一化向量;
        • reflect(I,N)   根据入射光方向向量,和顶点法向量N,计算反射光方向向量,其中I和N必须被归一化,需要注意的是:这个I是指向顶点的;函数只对三元向量有效;
        • refract(I,N,eta)  计算折射向量,I为入射光线,N为法向量,eta为折射系数;其中I和N必须被归一化,如果I和N之间夹角太大,则返回(0,0,0),也就是没有折射光线;函数只对三元向量有效;

        3.纹理映射函数
        • tex1D(sampler1D tex,float s)  一维纹理查询;
        • tex1D(sampler1D tex, float s, float dsdx, float dsdy)   使用导数值查询一维纹理;
        • Tex1Dproj(sampler1D tex, float2 sq)  一维投影纹理查询;
        • Tex2D(sampler2D tex,float2 s)  二维查询纹理;
        • Tex2Dproj(sampler2D tex, float4 szq) 二维投影纹理查询;
        • Tex3D(sampler3D tex, float s)   三维纹理查询;
        • Tex3Dproj(sampler3D tex, float4 szq)   查询三维投影纹理,并进行深度值比较;
        • texCUBE(samplerCUBE tex, float3 s)    查询立方体纹理;
        • texCUBEproj (samplerCUBE tex, float4 sq)    查询立方体投影纹理;

        • 偏导函数**ddx(a) 参数a对应一个像素位置,返回该像素值在X轴的偏导数;ddy(a)  参数a对应一个像素位置,返回该像素值在X轴上的偏导数;
        • 调试函数**void debug(float4 x)    如果在编译时设置了debug,片段着色程序中调用该函数可以将值x作为COLOR语义的最终输出,否则该函数什么也不做;